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Analyse : théorie de l'intégration : convolution et transformée de Fourier / Marc Briane, Gilles Pagès

PPN : 223961698Main Author : Briane, MarcCoauthor : Pagès, Gilles (1960-.... ; mathématicien) Edition : 7e éditionPublication : Louvain-la-Neuve : De Boeck supérieur, DL 2018Description : 1 vol. (399 p.) : couv. ill. en coul. ; 24 cmISBN : 978-2-8073-1788-8Subject - Topical Name : Calcul intégral | Convolutions (mathématiques) | Fourier, Transformations de | Topologie | Riemann, Intégrale de | Mesure, Théorie de la Document type : Livre List(s) this item appears in: BUB - Maths Capes/Agreg | BUB Les Incontournables !
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Contenu identique à la 6ème édition parue chez Vuibert (cop. 2015)

La couverture porte en plus : "Cours complet ; 230 exercices avec solutions ; QCM et problèmes d'examen"

Bibliographie p. [393]-394. Index

La 4ème de couv. indique : "L'ouvrage présente les bases de la théorie de l'intégration et ses premières applications au programme de la Licence 3 et du Master 1 de mathématiques pures ou appliquées, avec un cours complet et plus de 230 exercices corrigés dont 15 problèmes de synthèse posés en examen. Il propose plusieurs niveaux de lecture où l'on distingue clairement connaissances indispensables lors d'une première initiation et résultats à aborder lors d'une lecture plus approfondie. Cette 7e édition augmentée développe encore les applications de la théorie de l'intégration et y ajoute une nouvelle sélection de QCM corrigés également posés aux examens."

Licence 3, Master 1, écoles d'ingénieurs

P. 11 Avant-propos P. 14 Notations P. 17 I Rappels et préliminaires P. 19 1 Intégrale au sens de Riemann P. 19 1.1 Intégrale des fonctions en escalier P. 20 1.2 Fonctions intégrables au sens de Riemann P. 22 1.3 Fonctions réglées P. 24 1.4 Intégrale de Riemann et calcul de primitive P. 25 1.5 Changement de variable et intégration par parties P. 25 1.6 Formules de la moyenne P. 26 1.7 Sommes de Riemann P. 27 1.8 L'espace semi-normé (...) ([a, b], (...)) P. 28 1.9 Intégrales dépendant d'un paramètre P. 30 1.10 Exercices P. 33 2 Éléments de théorie des cardinaux P. 33 2.1 Cardinaux P. 35 2.2 Ensembles dénombrables P. 39 2.3 Exercices P. 41 3 Quelques compléments de topologie P. 41 3.1 La droite achevée P. 43 3.2 Limite supérieure et limite inférieure P. 45 3.3 Topologie sur un ensemble. Espace métrique P. 46 3.4 Base dénombrable d'ouverts, séparabilité P. 47 3.5 Exemples de constructions de topologies P. 47 3.5.1 Topologie induite P. 47 3.5.2 Topologie produit P. 48 3.6 Distance d'un point à un ensemble P. 49 3.7 Exercices P. 51 II Théorie de la mesure P. 53 De Riemann vers Lebesgue P. 54 Sur une généralisation de l'intégrale définie (par H. Lebesgue) P. 57 4 Tribu de parties d'un ensemble P. 59 4.1 Tribu, tribu borélienne P. 62 4.2 Autres exemples de tribus P. 62 4.2.1 Tribu image-réciproque P. 62 4.2.2 Tribu image P. 62 4.3 Lemme de transport P. 64 4.4 Exercices P. 65 5 Fonctions mesurables P. 65 5.1 Définitions P. 68 5.2 Opérations sur les fonctions mesurables P. 70 5.3 Fonctions étagées sur un espace mesurable P. 73 5.4 Exercices P. 75 6 Mesure positive sur un espace mesurable P. 75 6.1 Définition et exemples P. 77 6.1.1 Propriétés essentielles P. 79 6.1.2 Application à la mesure de Lebesgue sur (...) P. 80 6.2 Caractérisation d'une mesure. Unicité P. 80 6.2.1 Un théorème de classe monotone P. 81 6.2.2 Application à la caractérisation d'une mesure P. 83 6.3 Construction de mesures par prolongement (I) P. 83 6.3.1 Théorème de prolongement de Carathéodory P. 84 6.3.2 Principes de construction de la mesure de Lebesgue sur (...) P. 85 6.4 Régularité de la mesure de Lebesgue P. 86 6.5 (...) Construction de mesures par prolongement (II) P. 86 6.5.1 Démonstration du théorème de Carathéodory P. 92 6.5.2 Construction de mesures sur (...) : Lebesgue, Stieltjes P. 99 6.6 (...) Régularité d'une mesure sur un espace métrique P. 100 6.6.1 Le cas d'une mesure finie P. 101 6.6.2 Le cas d'une mesure sigma-finie P. 103 6.6.3 Régularité des mesures de Borel P. 105 6.6.4 Régularité des mesures finies sur une espace polonais P. 106 6.6.5 Application à la caractérisation des mesures P. 106 6.7 Exercices P. 113 III Intégrale de Lebesgue P. 115 7. Intégrale par rapport à une mesure positive P. 115 7.1 Intégrale d'une fonction étagée positive P. 119 7.2 Intégrale d'une fonction mesurable positive P. 124 7.3 L'espace (...) (µ) des fonctions intégrables P. 127 7.4 Intégrales de Riemann et de Lebesgue sur un intervalle compact P. 130 7.5 Exercices P. 133 8. Théorèmes de convergence et applications P. 133 8.1 Lemme de Fatou et théorème de convergence dominée P. 139 8.2 Application aux séries de fonctions P. 140 8.3 Intégrales dépendant d'un paramètre P. 147 8.4 Mesures à densité : première approche P. 148 8.5 Exercices P. 157 9 Espaces Lp P. 157 9.1 Espaces (...) (µ) : définition et première propriétés P. 158 9.2 Inégalités de Hölder et de Minkowski P. 164 9.3 Les espaces de Banach (...) (µ), (...) P. 164 9.3.1 Préliminaires sur les espaces semi-normés P. 165 9.3.2 Construction et propriétés P. 170 9.4 Théorèmes de densité dans les (...) (µ), (...), (I) P. 175 9.5 L'espace (...) (µ) (µ # 0) P. 180 9.6 Propriétés hilbertiennes de (...) (µ) P. 180 9.6.1 L'espace de Hilbert (...) (µ) P. 181 9.6.2 Théorème de projection P. 182 9.6.3 Représentation d'une forme linéaire continue P. 183 9.7 ¤ Théorèmes de densité dans les (...) (µ) (...), (II) P. 183 9.7.1 Densité des fonctions lipschitziennes dans (...) (µ) P. 185 9.7.2 Densité des fonctions lipschitziennes à support compact P. 186 9.7.3 Théorème de Lusin P. 189 9.8 Exercices

P. 195 10 Théorèmes de représentation et applications P. 195 10.1 (...) Théorème de représentation de Riesz P. 195 10.1.1 Cas des formes linéaires positives P. 203 10.1.2 Mesures de Radon P. 208 10.2 Théorème de Radon-Nikodym P. 209 10.2.1 Le cas d'une mesure de référence µ finie P. 211 10.2.2 Extension au cadre (...)-fini P. 212 10.3 Dualité Lp-Lq P. 212 10.3.1 Formes linéaires réelles positives P. 214 10.3.2 Formes linéaires réelles ou complexes P. 215 10.4 Interpolation sur les espaces Lp P. 220 10.5 Exercices P. 227 11 Mesure produit, théorèmes de Fubini P. 227 11.1 Tribu produit P. 227 11.1.1 Définition, premières propriétés P. 229 11.1.2 Le cas des tribus boréliennes P. 231 11.1.3 Section d'un élément de la tribu produit P. 231 11.2 Mesure produit de mesures (...)-finies P. 231 11.2.1 Construction et caractérisation P. 234 11.2.2 Construction de la mesure de Lebesgue (...)d, d (...) 2 P. 235 11.3 Théorèmes de Fubini P. 241 11.4 (...) Produit infini de mesures de probabilité P. 243 11.5 Exercices P. 251 12 Mesure image, changement de variables P. 251 12.1 Mesure image P. 254 12.2 Théorème général de changement de variables P. 266 12.3 (...) Application : le degré topologique de Brouwer P. 271 12.4 Exercices P. 275 13 Mesure complétée, tribu de Lebesgue, ensemble de Cantor P. 275 13.1 Complétion d'une mesure P. 278 13.2 Tribu de Lebesgue P. 280 13.3 Ensemble de Cantor, fonction de Lebesgue, applications P. 285 13.4 (...) Produit de mesures complètes. Complétion d'un produit P. 286 13.5 (...) Complétion et fonctions mesurables P. 289 IV Convolution et transformée de Fourier P. 291 14 Convolution et applications P. 291 14.1 Opérateurs de translation sur les fonctions P. 293 14.2 Convolution sur (...)d P. 293 14.2.1 Le cas positif P. 295 14.2.2 Cadre général P. 297 14.3 Conditions d'existence et propriétés P. 302 P. 306 14.5 Régularisation par convolution P. 309 14.6 Autres convolutions P. 309 14.6.1 ... de fonctions P. 310 14.6.2 Convolution de mesures positives (...)-finies P. 311 14.7 Exercices P. 315 15 Transformée de Fourier P. 316 15.1 Définition et premières propriétés P. 323 15.2 Injectivité et formule d'inversion P. 331 15.3 Transformée de Fourier-Plancherel P. 333 15.4 Exercices P. 339 V En guise de conclusion : problèmes, QCM et solutions succinctes des exercices et QCM P. 341 16 Questionnaires à choix multiples P. 342 16.1 QCM 1 P. 343 16.2 QCM 2 P. 344 16.3 QCM 3 P. 345 16.4 QCM 4 P. 346 16.5 QCM 5 P. 347 16.6 QCM 6 P. 349 17 Quelques problèmes P. 349 17.1 Problème 1 P. 350 17.2 Problème 2 P. 351 17.3 Problème 3 P. 352 17.4 Problème 4 P. 354 17.5 Problème 5 P. 355 17.6 Problème 6 P. 357 17.7 Problème 7 P. 359 17.8 Problème 8 P. 361 17.9 Problème 9 P. 362 17.10 Problème 10 P. 363 17.11 Problème 11 P. 365 18 Vers la solution des exercices P. 389 19 Réponses aux QCM P. 389 19.1 Réponses au QCM 1 P. 390 19.2 Réponses au QCM 2 P. 390 19.3 Réponses au QCM 3 P. 390 19.4 Réponses au QCM 4 P. 391 19.5 Réponses au QCM 5 P. 391 19.6 Réponses au QCM 6 P. 393 Bibliographie P. 395 Index

 

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